弦论必须是十维的理由十分复杂，
主要的想法大致如下：
维度愈大，弦可以振动的方式愈多。
但为了制造出宇宙中的所有可能性，
弦论不只需要大数目的可能振动模式，
而且这个数目还必须是特定的数，
结果这个数只有十维时空才办得到。
寻找钻石的时候，幸运的话，你可能附带找到其他的宝石。我在1977年发表的一篇两页论文里，宣告完成了卡拉比猜想的证明。详细的证明则发表在1978年的73页论文中，在这篇文章里，我附带证明了另外五个相关的定理。
总而言之，这些意外的收获，其实源自我思索卡拉比猜想时的非常境遇：我先是想证明他的猜想是错的，后来又掉头，试图证明它是对的。非常幸运，我所有努力都没有白费，每一着错步，每条看似不通的死路，后来都被我用上了。我号称的“反例”（从卡拉比猜想导出的结论，我想证明它们是错的），因为卡拉比猜想的成立，结果连带也是正确的。因此这些失败的反例，事实上是正确的典例，很快都成了数学定理，其中有些还颇为着名呢。
这些定理中最重要的一项，又带领我们推导出“赛佛利猜想”（Severi conjecture），这是庞加莱猜想的复数版本，数学家有二十多年无法证明其对或错。
其中对小于零的情形，其简单的推论就解决了长期悬而未决的Severi猜想，复二维投影空间的复结构是唯一的，甚至任意维数复投影空间的卡勒复结构也是唯一的。
另一个匪夷所思的推论是，在任意维数的这类复流形上，存在一个奇妙的陈示性数不等式，而此前代数几何学家却只能得到复二维的情形。
不过在进行这项证明之前，我得先证明一个关于复曲面拓扑分类的重要不等式。我之所以对这个不等式感兴趣，部分原因是听到哈佛大学数学家曼弗德（david mumford）的演讲，他当时正路过加州。这个问题是荷兰雷登大学的安东尼斯·凡德文（Antonius van de Ven）首先提出的，讨论关于凯勒流形陈式类的不等式，凡德文证明：凯勒流形第二陈氏类的8倍，不小于其第一陈氏类的平方。当时许多人相信将不等式中的8换成3，将会得到更强的不等式，事实上，大家认为3是可能的最佳值。曼弗德问的，就是能不能证明这个更严格的不等式。
这个问题是1976年9月曼弗德在加州大学尔湾分校演讲时提出的，当时刚证明卡拉比猜想的我，正好听了这场演讲。他演讲到中途，我就相当确定曾经遇过相同的问题。在演讲之后的讨论中，我告诉曼弗德自己应该可以证明这个更困难的不等式。当天回家后，我检查做过的计算，果然不出所料，自己曾经在1973年试图用这个不等式来否证卡拉比猜想。而现在，我可以倒过来，用卡拉比—丘定理来证明这个不等式。事实上我的收获更丰盛，因为运用其中的特殊情况，也就是一个“等式”——即第二陈氏类的3倍“等于”第一陈氏类的平方——来证明了赛佛利猜想。
赛佛利猜想与这个应用范围更广的不等式[有些时候被称为“波格莫洛夫—宫冈—丘不等式”（bogomolov-miyaoka-Yau inequality），以表彰另两位数学家的贡献]是卡拉比证明最初的主要副产品，此后还有其他应用接踵而至。
事实上，卡拉比猜想涵盖的范围比我之前提到的更宽广，其中不只包含黎奇曲率为零的情况，也包括黎奇曲率为正常数与负常数的情形。
到目前为止，还没有人能证明出正常数条件中最普遍的情况。事实上，正常数的情形，卡拉比原先的猜想并不成立，后来我提出一个新猜想，加上某个容许正常数黎奇曲率度规存在的特殊条件。
过去二十年，许多数学家（包括多纳森）对这个猜想都有相当重要的贡献，但仍未能完全将它证明。虽然如此，我倒是证明了负曲率的情况，这是我整体论证的一环，法国数学家奥邦也独立证明了这个部分。
负曲率的解决，则证实了存在着一类涵盖更广的流形，称为凯勒—爱因斯坦流形（K hler-Einstein manifolds）。这门新建立的几何学，后来有出人意料的丰硕研究成果。
在思索卡拉比猜想的直接应用上，我可说是诸事顺遂，在短期间内解决了六七个问题。
事实上一旦你知道存在某个度规，就会顺势得到许多结果。
例如你可以反过来导出流形的拓扑性质，并不需要知道度规的确切表式。然后，又可以运用这些性质去指认出流形的唯一特色。
这就好像你不需要知道星系中众星体的细节，就能辨识星系；或者，不需要知道整副牌的细节，就能推理出许多手中牌张的性质（牌数、大小、花色等）。
对我来说，这就是数学的神奇之处，比起巨细靡遗的细节齐备之后才能做推论，这样反而更能彰显数学的威力。
见到我艰苦的努力终于获得回报，或者看着他人继续向我没想到的路径迈进，都让我觉得心满意足。但尽管拥有这些好运道，还是有个想法不时在心头扯咬着我。在我内心深处，我很确定这项研究除了数学之外，在物理学中也一定有其意义，虽然我并不知道究竟为何。就某个观点而言，这个信念其实十分显然，因为在卡拉比猜想中求解的微分方程（黎奇曲率为零的情况），基本上就是真空的爱因斯坦方程，对应到的是没有背景能量或宇宙常数为零的宇宙（目前，一般认为宇宙常数是正值，和推动宇宙扩张的暗能量同义）。而卡拉比—丘流形就是爱因斯坦方程的解，就像单位圆是x2+y2=1的解一样。
当然，描述卡拉比—丘空间比圆需要更多的方程式，而且方程式本身也复杂得多，但是基本想法是相同的。卡拉比—丘方程不但满足爱因斯坦方程，而且形式格外优雅，至少我觉得有令人忘形之美。所以我认为它在物理学中必定占据着某个重要位置，只是不知道究竟在哪儿。
喜欢数学心请大家收藏：(m.wuwenshuwu.com)数学心伍文书屋更新速度全网最快。